《今日難得的交易專題（二）》

小小標題：馬丁萬用論？用數學來拆解看看發生了什麼。

上篇長文，我們描述「2 美金一直贏，翻倍 13 次會發生什麼」，其中有一段蠻耐人尋味，就是「連輸 13 次機率」。

*個人會建議看完上篇內容再看這篇，有許多我會用簡寫的名詞，上篇都有說明了，例如 Edge、EV、RR 等詞彙。

當一套交易系統單次勝率 30% 時，敗率就是 70%，指定連輸 13 次的機率約為 0.969%，反過來看，13 筆裡至少成功一次的機率高達約 99.03%。

2 輸了用 4，4 輸了用 8，8 輸了用 16，一直到某一次獲利，把前面的虧損全部拿回來。

Martingale（馬丁格爾，也就是虧損之後持續加倍下注，希望下一次獲利把前面所有虧損追回來）。

這篇一樣不算手續費、滑價、資金費率等現實因素，單純拆它的數學結構來論。

【一、馬丁的概念】

先假設勝率50%，RR 1:1，第一筆下注 2 美金。

如果第一筆直接贏便 +2 美金，輸掉則 -2 美金，且下一筆改下注 4。

假設第二筆贏 -2 + 4 = +2，如果前兩筆都輸，-2 -4 = -6。

第三筆下注 8。第三筆贏 -2 -4 +8 = +2，如果前三筆都輸 -2 -4 -8 = -14。

這邊已經可以發現一件很有趣的事情，不管前面已經輸了多少次，只要下一筆成功，最後都會成功 +2 美金。

【二、暗藏的風險】

馬丁是一個「當失敗一次，就會重度損失的一個資金管理方法」。

連敗次數 / 累積虧損 / 下一筆下注 / 要繼續下一筆至少需要的總資金

1 /2 / 4 / 6

2 / 6 / 8 / 14

3 / 14 / 16 / 30

4 / 30 / 32 / 62

5 / 62 / 64 / 126

6 / 126 / 128 / 254

7 / 254 / 256 / 510

8 / 510 / 512 / 1,022

9 / 1,022 / 1,024 / 2,046

10 / 2,046 / 2,048 / 4,094

11 / 4,094 / 4,096 / 8,190

12 / 8,190 / 8,192 / 16,382

13 / 16,382 / 16,384 / 32,766

當使用 2 美金為倍數增長時，成功在固定的盈虧比下，使用僅有 2 美金。

為了多承受一次連敗，下一筆所需要的資金需翻倍，雖然獲利維持線性，但資金需求卻呈現指數增加。

假設資本為 100 美金，從 2 為初始，最多只允許自己進行 5 次。

2 > 4 > 8 > 16 > 32。

只要這五筆裡面任何一筆成功，整輪最後就是 +2 美金。

假設單筆勝率 50%，5 連敗機率為 0.5⁵ = 3.125%

整輪至少成功一次的機率為 1 - 0.5⁵ = 96.875%

最後整體：

單筆交易勝率 50%

馬丁循環成功率 96.875%

循環成功盈利 +2

循環完整失敗機率 3.125%

循環完整失敗虧損 -62

看到這裡其實相當明顯，假設在盈虧比固定的情況下，失敗時的損失會必預計還來的重。

如果把最大馬丁層數慢慢增加：

最大層數 / 循環成功率 / 完整失敗虧損 / 一次失敗吃掉多少次 +2

5 / 96.875% / -62 / 31 次

10 / 99.9023% / -2,046 / 1,023 次

13 / 99.9878% / -16,382 / 8,191 次

當層數越高，循環成功率會越接近 100%，但是完整失敗一次的損失會倍數增長。

例如 13 層馬丁的循環成功率高達 99.9878%，但失敗就會虧掉 16,382 美金，而正常成功一次只賺 2 美金。

16,382 / 2 = 8,191，當一次完整的失敗，便可將前面 8,191 次成功循環的獲利全部吃掉。

【三、99.9% 的成功率，為什麼還可能沒有正期望？】

以 10 層為例，循環成功率 99.90234375%，循環成功盈利 +2，循環失敗率 0.09765625%，循環完整失敗 -2,046。

EV = 0.9990234375 × 2 + 0.0009765625 ×（-2,046）= 0

所以在單筆勝率 50%、RR 1:1、沒有手續費與滑價，馬丁並沒有任何 Edge。

它只是把原本單次固定 50% +2，50% -2 的行為，變成 99.9023% +2，0.0977% -2,046 罷了。

只是改變了「報酬分布」，對 Edge 並沒有任何好處。

【四、這時我們要來提提風險值】

在普通的 1:1 隨機交易，可能是一下賺、一下虧，資金曲線不斷上下震盪。

馬丁則將大量的虧損「延後出現」。

在原始模式中：

獲利頻率 普通

虧損頻率 普通

單次獲利 小

單次虧損 小

而馬丁模式內：

獲利頻率 非常高

虧損頻率 非常低

單次獲利 小

單次虧損 非常大

所以實際上並沒有將風險消除，僅是把原本頻繁出現的小虧損，重新集中成少數的大虧損。

假設單筆勝率是 p，敗率為 q = 1-p，初始下注為 a，最多允許下注 m 次。

整輪全部失敗機率為 qᵐ，整輪至少成功一次機率為 1-qᵐ，完整失敗的累積虧損則為 a（2ᵐ-1）。

只要中間成功，整輪獲利 +a。

因此整輪期望值為 EV = a［1-(2q)ᵐ］

如果 p = 50%，q = 50%，2q = 1，EV = 0

如果 p < 50%，2q > 1，EV < 0

如果 p > 50%，則 EV > 0

但如果 p > 50%，真正帶來正期望的東西，本來就是底層交易策略的 Edge，馬丁並未創造任何 Edge。

【五、上筆輸了，下筆就更容易獲勝的謬誤】

我認為這點除了馬丁以外，也適用於所有的資金策略上。

任何一個東西，在機率上，都並非「完全固定」。

有個詞為 Gambler's Fallacy（賭徒謬誤，也就是錯誤認為之前發生的獨立隨機結果，會提高下一次反轉的機率），便是在說明前面已經輸這麼多次，下一次總該贏了這個心態。

當然，如果市場條件發生變化，下筆交易的 Edge 提高，那就是另一個故事了，只是那時候提高倉位的理由應該是「下一筆 Edge 增加」，而並非「前面已經輸很多次」。

【六、10 連敗真的那麼罕見嗎？】

如果指定「接下來這 10 筆剛好全部輸」，機率確實只有 0.5¹⁰ = 0.09765625%，約 1 / 1,024。

但是上一篇有提過一個很重要的問題，「指定接下來 10 筆全部輸」和「長期交易過程中有沒有至少碰到一次 10 連敗」，是完全截然不同的情況。

假設單筆勝率 50%，每筆交易互相獨立，在 1,000 筆交易中：

連敗長度 / 至少出現一次的機率

5 / 99.999996%

6 / 99.97%

8 / 86.11%

10 / 38.54%

12 / 11.40%

13 / 5.86%

所以如果一套馬丁格爾最多只能承受 10 連敗，那在 1,000 筆交易裡，至少碰到一次 10 連敗的機率其實已經約 38.5%，13 連敗甚至還有 5.86%。

樣本繼續增加，且勝率仍然固定 50%，並交易 5,000 筆：

連敗長度 / 至少出現一次的機率

8 / 約 99.995%

10 / 約 91.37%

12 / 約 45.67%

13 / 約 26.27%

指定某個位置發生 10 連敗，確實只有約 0.0977%。

但如果一直交易到 5,000 筆，至少碰到一次 10 連敗的機率已經超過 90%。

當交易越多，最長連敗本來就會慢慢增加。

在單筆勝率 50% 的簡化模型中，可以很粗略地用最長連敗尺度 = log₂（交易次數），來理解樣本數增加後的連敗尺度。

交易次數 / 大致最長連敗尺度

100 / 約 6～7

1,000 / 約 10

10,000 / 約 13～14

1,000,000 / 約 20

當樣本數不斷增加，極端連敗本來就會慢慢出現在資料裡，因此只要本金有限，任何馬丁資金的方式都一定存在「最多只能承受幾層」。

【七、本金增長性】

馬丁本金需求是 Exponential Growth（指數成長，也就是每多增加一層，所需要承擔的資金幾乎直接翻倍），我們可以試算看看，起始下注仍然為 2 美金。

最大層數 / 完整失敗累積虧損

10 / 2,046

11 / 4,094

12 / 8,190

13 / 16,382

14 / 32,766

15 / 65,534

16 / 131,070

20 / 2,097,150

多承受幾次連敗，本金需求會從幾千美金變成幾萬、幾十萬，最後甚至幾百萬，但不論本金準備多少，單次成功循環原本的目標依然只有 +2 美金。

於是，使用馬丁策略且無止損的狀況，可以很明顯看到一條漂亮的獲利曲線。

但這種情況下，一次完整失敗可以吃掉前面的成功，那目前連續成功都將付諸流水。

【八、馬丁有個更恐怖的東西】

隨著馬丁資金策略繼續進行後，單次本金會變得相當恐怖，其中也包含手續費、滑價問題。

我們在乾淨的計算中，僅計算「本金」，但實際上第一筆虧損 + 第一筆成本 + 第二筆成本 + 第二筆盈利，到最後的收益並不一定能夠底的過「盈利金額」本身。

【九、盈虧比的變化】

接下來是重點，在 RR 1:1 的情況下，獲利被阻擋了，那假設把 RR 拉大，且勝率依然固定的方法，那是否有用？

下注規則仍然完全不變 2，都用 2 美金計算，但是成功時賺的是 Risk 的 2 倍。

成功位置 / 前面累積虧損 / 成功單盈利 / 最終盈利

第 1 筆 / 0 / +4 / +4

第 2 筆 / -2 / +8 / +6

第 3 筆 / -6 / +16 / +10

第 4 筆 / -14 / +32 / +18

第 5 筆 / -30 / +64 / +34

第 6 筆 / -62 / +128 / +66

輸得越久，下一筆 Risk 越大，最後成功，整輪盈利越大。

在不同的 RR 數，會盈利到的差距。

RR / 第 1 筆成功 / 第 2 筆成功 / 第 3 筆成功 / 第 4 筆成功 / 第 5 筆成功

1:1 / +2 / +2 / +2 / +2 / +2

1:2 / +4 / +6 / +10 / +18 / +34

1:5 / +10 / +18 / +34 / +66 / +130

1:10 / +20 / +38 / +74 / +146 / +290

1:20 / +40 / +78 / +154 / +306 / +610

RR 1:1 時，越晚成功只是把前面的虧損追回來，但 RR > 1:1 之後，越晚成功的那一筆，因為部位已經被前面的失敗不斷放大，所以最後得到的盈利也會快速增加。

成功位置 / 累積虧損 / 當筆 Risk / 當筆盈利 / 最終盈利

第 1 筆 / 0 / 2 / +4 / +4

第 2 筆 / -2 / 4 / +8 / +6

第 3 筆 / -6 / 8 / +16 / +10

第 4 筆 / -14 / 16 / +32 / +18

第 5 筆 / -30 / 32 / +64 / +34

第 6 筆 / -62 / 64 / +128 / +66

第 7 筆 / -126 / 128 / +256 / +130

第 8 筆 / -254 / 256 / +512 / +258

第 9 筆 / -510 / 512 / +1,024 / +514

第 10 筆 / -1,022 / 1,024 / +2,048 / +1,026

假設初始 Risk 為 a，第 k 筆第一次成功，前面已經失敗 k-1 次。

第 k 筆，Risk a × 2^(k-1)，前面累積虧損 a［2^(k-1)-1］。

假設 RR 為 1，那第 k 筆成功時的盈利，a × 2^(k-1) × R，所以整輪最後結果，Gₖ = a［（R-1）×2^(k-1)+1］。

如果 a = 2 且 R = 1，就會得到 Gₖ = 2，但若 R = 2 就會變成 Gₖ = 2［2^(k-1)+1］。

盈利也會變成 +4，+6 > +10 > +18 > +34。

【十、這樣是不是比 1:1 馬丁更好？】

這裡就不能只看盈利金額，因為 RR 1:2 本身的算術損益兩平勝率為 33.33%，所以一套 RR 1:2 的策略，即使勝率只有大約 33.33%，理論上就已經可以達到損益兩平。

但在敗率越高的情況下，正常連敗也會越長，而現在使用的 Position Sizing 為失敗一次 > 下一筆 Risk ×2 的條件。

【十一、假設勝率只有 35%】

RR 1:2，勝率 35%，這是套高於算術損益兩平的正 Edge 策略。

單筆 EV 0.35 ×2 -0.65 ×1 = +0.05R

每承擔 1R，算術期望為 +0.05R

但敗率則有 65%

連敗機率：

次數 / 機率

5 / 11.60%

10 / 1.346%

15 / 0.156%

20 / 0.0181%

10 連敗僅有 1.35%

但單筆損失為：

連敗次數 / 單筆損失費用

1 / 2

2 / 4

3 / 8

4 / 16

5 / 32

6 / 64

7 / 128

8 / 256

9 / 512

10 / 1,024

所以若發生 10 連敗，累積虧損為 -2,046，所以底層策略本身為正期望，Position Sizing 仍然可能讓正常的統計波動變成非常大的資金事件。

但如果 10 筆全部失敗的機率為 1.346%，同時也代表其中一筆成功率為 98.654%。

最終單筆勝率 35%，10 層循環成功率 98.654%，10 層完整失敗率 1.346%，完整失敗虧損 -2,046。

一套單筆勝率只有 35% 的交易策略，經過這種方式包裝之後，也可以得到接近號稱 98.7% 的循環成功率。

但它的 Edge 沒有因此從 35% 突然變成 98.7%，因為這行為依然是把大量普通的虧損延後，集中到少數完整失敗的循環。

【十二、不同勝率的影響】

既然已經知道 R 值可能會有劇烈影響，那便依據 EV 的狀況，來整理完整的情況。

假設 RR 仍固定 1:2，初始 Risk 2，失敗後將 Risk x2。

單筆勝率 / 單筆 EV / 10 層循環成功率 / 完整失敗率

20% / -0.40R / 約 89.26% / 約 10.74%

25% / -0.25R / 約 94.37% / 約 5.63%

30% / -0.10R / 約 97.18% / 約 2.82%

33.33% / 約 0R / 約 98.27% / 約 1.73%

35% / +0.05R / 約 98.65% / 約 1.35%

40% / +0.20R / 約 99.40% / 約 0.60%

45% / +0.35R / 約 99.75% / 約 0.25%

50% / +0.50R / 約 99.90% / 約 0.098%

55% / +0.65R / 約 99.97% / 約 0.034%

60% / +0.80R / 約 99.99% / 約 0.0105%

70% / +1.10R / 約 99.9994% / 約 0.00059%

80% / +1.40R / 約 99.99999% / 約 0.0000102%

這邊可以注意一件事情，我只有使用「單筆勝率｣與「成功率」計算，無論多糟糕的勝率，都因馬丁使得成功率變得更高。

另外 Edge 處於負的狀況，仍有一定的勝率存在，損益兩平的情況，也有 98.27% 的勝率。

【十三、看似很美好，但並沒有】

上面的數據，看起來很美好，但其實有些殘酷的事實。

我們先從連敗筆數來看

單筆勝率 / 平均等待到一次 10 連敗的交易筆數

30% / 約 115 筆

33.33% / 約 170 筆

35% / 約 209 筆

40% / 約 411 筆

45% / 約 875 筆

50% / 約 2,046 筆

55% / 約 5,338 筆

60% / 約 15,893 筆

勝率越低，碰到 10 連敗所需要等待的交易筆數也越少，甚至在接近 RR 1:2 損益兩平的 33.33% 勝率下，平均也只需要約 170 筆，而已經具有正 Edge 的 35% 勝率，也大約只有 209 筆。

【十四、Risk 可能讓正 Edge 無法兌現】

假設敗率為 q = 1-p，要走到第 k 層，代表前面已經連續失敗 k-1 次，所以到達第 k 層的機率 q^(k-1)。

而第 k 層使用的 Risk 為 a ×2^(k-1)

把兩個東西放在一起到達該層機率 × 該層 Risk = a（2q）^(k-1)。

每深入一層，就會再乘上 2q，這 2q 指的是馬丁將資金翻倍的這個行為。

假設勝率 35%，RR 1:2，初始 RisK 為 2，每次失敗後 Risk ×2，看看每一層實際發生什麼。

層數 / 到達該層機率 / 當筆 Risk / 累積虧損 / 到達機率 × Risk

第 1 層 / 100% / 2 / -2 / 2

第 2 層 / 65% / 4 / -6 / 2.60

第 3 層 / 42.25% / 8 / -14 / 3.38

第 4 層 / 27.46% / 16 / -30 / 4.39

第 5 層 / 17.85% / 32 / -62 / 5.71

第 6 層 / 11.60% / 64 / -126 / 7.43

第 7 層 / 7.54% / 128 / -254 / 9.65

第 8 層 / 4.90% / 256 / -510 / 12.55

第 9 層 / 3.19% / 512 / -1,022 / 16.31

第 10 層 / 2.07% / 1,024 / -2,046 / 21.21

到達後面層數的機率確實越來越低，但是 Risk 增加得更快。

真正已經發生在帳戶上的累積虧損會變成 -2 > -6 > -14 > -30 > -62 > -126 > -254 > -510 > -1,022 > -2,046。

所以馬丁需要在那筆盈利出現前，維持住帳戶的本金。

【十五、同樣的正 Edge，不同 Position Sizing】

還是假設完全相同的策略，勝率 35%，RR 1:2，EV +0.05R，只有 Position Sizing 不同。

每一筆固定 Risk 2 美金：

連敗次數 / 累積虧損

1 / -2

2 / -4

3 / -6

5 / -10

10 / -20

15 / -30

20 / -40

如果每次失敗後 Risk ×2：

連敗次數 / 累積虧損

1 / -2

2 / -6

3 / -14

5 / -62

10 / -2,046

15 / -65,534

20 / -2,097,150

兩套交易系統勝率、RR、Edge、進場、出場都一樣，20 連敗之後的差距天差地遠。

可能在 Edge 還沒有經過足夠樣本兌現，本金就已經無法繼續執行。

【十六、倍倍增幅的收益有自由，但馬丁並沒有】

上一篇在 RR 1:2、固定比例 Risk 的特殊模型中，我們曾說盈利單的「淨盈利次數」的論點。

例如從 100 美金往 12,800 美金前進，需要淨往上 +7 格，所以不管 7 勝 0 敗、17 勝 10 敗、27 勝 20 敗等，終究可能抵達那個數字。

只要中間沒有先碰到 Practical Ruin（實務破產），勝利與失敗便可互相交錯，依然有機會慢慢讓 Edge 透過大量樣本兌現。

但馬丁沒有這個東西，他是連續的，只要失敗一次，上一次累積的失敗便會越來越沉重，使得在盈利之前已經巨額虧損。

另外上篇的連續虧損機率計算，也可以用於馬丁上，而馬丁依照 2 美金明顯將可接納連虧次數的範圍拉小了，也是其中之一。

【十七、盈利也沒有像表象一樣美好】

既然馬丁後面的 Position Size 越來越大，成功時的盈利也越來越高，是不是代表盈利能力也比固定本金好？

假設全只有 100 美金，策略完全相同，勝率 35%，RR 1:2，單筆 Edge +0.05R。

若固定每筆 Risk 2 美金，假設先看 5 筆交易。

單筆為 EV 2 ×0.05 = +0.10 美金，5 ×0.10 = +0.50 美金。

如果 5 筆全部失敗 -10，剩餘本金 90 美金。

馬丁在本金同樣 100，第一筆 Risk 2，失敗後 Risk ×2，2 > 4 > 8 > 16 > 32。

第 1 筆成功，最終盈利 +4

第 2 筆成功，最終盈利 +6

第 3 筆成功，最終盈利 +10

第 4 筆成功，最終盈利 +18

第 5 筆成功，最終盈利 +34

5 筆全部失敗，累積虧損 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62，本金剩餘 38

另外固定 Risk 的 5 筆交易與 5 層馬丁，交易次數其實並不完全相同，固定 Risk 是固定做完 5 筆，但馬丁只要中途成功，這一輪就會停止。

在勝率 35% 下，一個最多 5 層的馬丁循環，平均交易筆數其實只有約 2.53 筆，但是把每一層真正投入的 Risk 與到達機率算進去後。

固定 Risk 5 筆，總 Risk 10，EV +0.50。

5 層馬丁，平均總 Risk 約 18.09，EV 約 +0.904。

再把盈利除回實際承擔的 Risk：

固定 Risk 0.50 / 10 = 5%

馬丁 0.904 / 18.09 = 5%

兩者會完全回到每承擔 1 美金 Risk = EV +0.05 美金，所以馬丁增加的絕對期望盈利，並不是因為馬丁本身提高了 Edge。

固定 Risk 5 筆總 Risk 為 10 美金。

馬丁 5 層循環的平均總 Risk 則約為 18.09 美金。

馬丁更高的絕對期望盈利，原因僅是前面失敗之後，持續投入越來越多本金而提高單輪的「絕對期望盈利」，但提高盈利的方法，本身就是提高資金曝險。

固定 Risk 等於犧牲單次資金放大的速度，換取更多未來交易機會，馬丁則是犧牲未來可以失敗的次數，把更多本金集中到連敗後的交易，交換成功時更大的絕對盈利。

因此在相同本金下，重點會放在資金被如何分配，未來保留多少次的交易機會等，來嘗試達到目標。

【十八、最後總結】

馬丁只改變了資金的獲取模式，可以提高循環成功率，或讓後面的單次盈利變大，但代價是 Risk、累積虧損與本金需求同步增加，且底層策略如本身有 Edge，使用馬丁也可能會產生悲劇。

固定 Risk 保留更多交易機會，讓資金隨著 Edge 慢慢增長，馬丁則是在犧牲可容許失敗的次數，把更多本金集中到連敗後的下一筆。

因此如果使用馬丁，可以思考，為了換到這個成功率，到底承擔了多少 Risk，又還剩下幾次失敗的空間？